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人教版九年级上册数学全册教案21.2.1 配方法

教案
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课题

21.2.1 配方法

课 型

新授课

课 时

1

教学

目标

理解一元二次方程降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.

提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

 

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.

通过复习可直接化成x2=p(p0)或(mx+n)2=p(p0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.

 

了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.

通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目.

教 学

重 点

难 点

重点 运用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程,领会降次——转化的数学思想.

讲清直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.

讲清配方法的解题步骤.

难点 对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,通常把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方;对于二次项系数不为1的一元二次方程,要先化二次项系数为1,再用配方法求解.

将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的化为的转化方法与技巧.

通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n0)的方程

教 学

准 备

多媒体

 

 

 

一、复习引入

学生活动:请同学们完成下列各题.

问题1:填空

(1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.

解:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)()2 .

问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?

二、探索新知

上面我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?

(学生分组讨论)

老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±3

即2t+1=3,2t+1=-3

方程的两根为t1=1,t2=-2

例1 解方程:(1)x2+4x+4=1 (2)x2+6x+9=2

分析:(1)x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.

(2)由已知,得:(x+3)2=2

直接开平方,得:x+3=±

即x+3=,x+3=-

所以,方程的两根x1=-3+,x2=-3-

解:略.

例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率.

分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解:设每年人均住房面积增长率为x,

则:10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接开平方,得1+x=±1.2

即1+x=1.2,1+x=-1.2

所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.

所以,每年人均住房面积增长率应为20%.

(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?

共同特点:把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为降次转化思想

三、巩固练习

教材第6页 练习.

一、复习引入

(学生活动)请同学们解下列方程:

(1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9 (4)4x2+16x=-7

老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p0)的形式,那么可得

x=±或mx+n=±(p0).

如:4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?

二、探索新知

列出下面问题的方程并回答:

(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?

(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?

问题:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,求场地的长和宽各是多少?

(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:

x2+6x-16=0移项x2+6x=16

两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式x2+6x+32=16+9

左边写成平方形式(x+3)2=25降次x+3=±5即x+3=5或x+3=-5

解一次方程x1=2,x2=-8

可以验证:x1=2,x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能是负值,所以场地的宽为2 m,长为8 m.

像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.

可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

例1 用配方法解下列关于x的方程:

(1)x2-8x+1=0 (2)x2-2x-=0

分析:(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上.

解:略.

三、巩固练习

教材第9页 练习1,2.(1)(2).

一、复习引入

(学生活动)解下列方程:

(1)x2-4x+7=0 (2)2x2-8x+1=0

老师点评:我们上一节课,已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.

解:略. (2)与(1)有何关联?

二、探索新知

讨论:配方法解一元二次方程的一般步骤:

(1)先将已知方程化为一般形式;

(2)化二次项系数为1;

(3)常数项移到右边;

(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;

(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q0,方程的根是x=-p±;如果q<0,方程无实根.

例1 解下列方程:

(1)2x2+1=3x (2)3x2-6x+4=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.

解:略.

三、巩固练习

教材第9页 练习2.(3)(4)(5)(6).

作 业

 

布 置

教材第16页 复习巩固1

材第17页 复习巩固2,3.(1)(2).

教材第17页 复习巩固3.(3)(4).

补充:(1)已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,求x+y+z的值.

(2)求证:无论x,y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数.

课堂总结

本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2=p(p0)的方程,那么x=±转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p0)的方程,那么mx+n=±,达到降次转化之目的.若p<0则方程无解

左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.

1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.

2.配方法是解一元二次方程的通法,它的重要性,不仅仅表现在一元二次方程的解法中,也可通过配方,利用非负数的性质判断代数式的正负性.在今后学习二次函数,到高中学习二次曲线时,还将经常用到.

 

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