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(新)苏教版高中数学必修第一册学案:第5章 5.1 第1课时 函数的概念(含解析)

学案
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5.1 函数的概念和图象

1课时 函数的概念

学 习 目 标

核 心 素 养

1.在集合对应的基础上理解函数的概念,并能应用函数的有关概念解题.(重点、难点)

2.会求几种简单函数的定义域、值域.(重点)

通过学习本节内容培养学生的数学抽象核心素养,提升学生的数学运算核心素养.

(1)国家统计局的课题组公布,如果将2005年中国创新指数记为100,近些年来中国创新指数的情况如下表所示:

年度

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

中国创新指数

116.5

125.5

131.8

139.6

148.2

152.6

158.2

171.5

如果用y表示年度值,I表示中国创新指数的取值,则Iy的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?

(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如图所示医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)

如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,则vt的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?

1函数的概念

函数的定义

一般地,给定两个非空实数集合AB,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应,那么就称fAB为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法

从集合A到集合B的一个函数通常记为yf(x)xA

函数的定义域

在函数yf(x)xA中,所有的x(输入值)组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域.

函数的值域

A是函数yf(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与之对应,则将所有输出值y组成的集合{y|yf(x)xA}称为函数的值域

2两个函数是同一函数

(1)定义域和对应关系都相同的两个函数.

(2)函数的对应关系和定义域都确定后,函数才能够确定.

(3)给定函数时要指明函数的定义域,对于用表达式表示的函数,如果没有指明定义域,那么,就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合.

思考:定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗?

[提示] 不一定是,如函数yxx[0,1],和yx2x[0,1]定义域和值域都相同,但不是同一个函数

1思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系. (  )

(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. (  )

(3)根据函数的定义,定义域中的每一个x可以对应着不同的y

 (  )

[答案] (1)× (2) (3)×

2(1)函数f(x)的定义域为    

(2)函数f(x)的定义域为    

(3)函数f(x)(xN)的定义域为    

(1){x|x10} (2){x|x>2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} [(1)x100x10,即{x|x10}

(2)x2>0x>2,即{x|x2}

(3)?x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}]

3.若f(x)x23x2,则f(1)    

0 [f(1)123×120]

4.若f(x)x3x{0,1,2,3},则f(x)的值域为    

{3,-2,-1,0} [f(0)=-3f(1)=-2f(2)=-1f(3)0]

 

函数的概念

【例1】 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数.

(1)ANBR,对于任意的xAx±

(2)ARBN,对于任意的xAx|x2|

(3)ARB{正实数},对任意xAx

(4)A{1,2,3}BRf(1)f(2)3f(3)4

(5)A[1,1]B{0},对于任意的xAx0

[思路点拨] 求解本题的关键是判断在对应关系f的作用下,集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应

[] (1)对于A中的元素,如x9y的值为y±±3,即在对应关系f之下,B中有两个元素±3与之对应,不符合函数的定义,故不能构成函数

(2)对于A中的元素x2,在f作用下,|22|B,故不能构成函数

(3)A中元素x0B中没有对应元素,故不能构成函数

(4)依题意,f(1)f(2)3f(3)4,即A中的每一个元素在对应关系f之下,在B中都有唯一元素与之对应,依函数的定义,能构成函数

(5)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应,故是集合A到集合B的函数

1判断一个对应关系是否是函数,要从以下三个方面去判断,即AB必须是非空数集;A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应;A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.

2.函数的定义中每一个元素x有唯一的元素y说明函数中两变量xy的对应关系是一对一或者是多对一而不能是一对多”.

1.下列对应关系式中是AB的函数的有    (填序号)

AB[1,1]xAyBx2y21

A{1,2,3,4}B{0,1},对应关系如图;

ARBRfxy

AZBZfxy

 [对于项,x2y21可化为y±,显然对任意xAy值可能不唯一,故不符合对于项,符合函数的定义对于项,2A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合对于项,-1A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合]

 

求函数的定义域

【例2】 求下列函数的定义域.

(1)f(x)

(2)f(x)

(3)f(x)x0

(4)f(x)

(5)f(x)ln(x1)

(6)f(x)(x1)lg(x)

[思路点拨] 根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(),求出x的范围,就是所求函数的定义域

[] (1)要使f(x)有意义,则有3x2>0x>

f(x)的定义域为

(2)要使f(x)有意义,则?x1x2

f(x)的定义域为[1,2)(2,+)

(3)要使f(x)有意义,则

解得x4x0x2

f(x)的定义域为[4,-2)(2,0)(0,+)

(4)要使f(x)有意义,则x22x30解得x3x1

f(x)的定义域为(,-1][3,+)

(5)要使f(x)有意义,则

解得x>1x0x1

f(x)的定义域为(1,0)(0,1)(1,+)

(6)要使f(x)lg(x)有意义,则

解得x<0x1

f(x)的定义域为(,-1)(1,0)

1求函数定义域时,不要化简所给解析式,而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件.

2.函数的定义域要用集合或区间形式表示,这一点初学者易忽视.

2.求下列函数的定义域.

(1)f(x)

(2)f(x)ln(x1)xZ

[] (1)要使函数有意义,只需所以xx0,所以函数的定义域为

(2)要使函数有意义,只需所以-1x3

xZ,所以x0,1,2,3

所以函数的定义域为{0,1,2,3}

 

求函数的值域或函数值

【例3】 已知f(x)x24x2

(1)f(2)f(a)f(a1)的值;

(2)f(x)的值域;

(3)g(x)x1,求f(g(3))的值.

[思路点拨] (1)x2aa1代入f(x)即可;(2)配方求值域;(3)先求g(3)再算f(g(3))

[] (1)f(2)224×22=-2

f(a)a24a2

f(a1)(a1)24(a1)2a22a1

(2)f(x)x24x2(x2)222

f(x)的值域为[2,+)

(3)g(3)314

f(g(3))f(4)424×422

在例3中,g(x)x1,求f(g(x))g(f(x))

[] f(g(x))g(x)24g(x)2(x1)24(x1)2x22x1

g(f(x))f(x)1x24x21x24x3

1函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值,因此由函数关系求函数值,只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得.

2.求f(g(a))时,一般要遵循由里到外逐层计算的原则.

3.配方法是一种常用的求值域的方法,主要解决二次函数型的函数求值域.

 

抽象函数求定义域

[探究问题]

1yf(x)中,f(x)的定义域指的是什么?x是什么?

[提示] f(x)的定义域指的是x的范围,其中x是函数的自变量

2在函数yf(x1)中,自变量是谁?而它的定义域指的是什么?

[提示] yf(x1)中自变量为x,其定义域指的是x的范围

3如何将函数yf(x)yf(x1)中的自变量联系起来?

[提示] 由于xx1均为f的作用对象,故二者均应在f(x)定义域之中,即yf(x)x的范围与yf(x1)x1的范围一致

【例4 (1)已知函数yf(x)的定义域为[1,4],则f(x2)的定义域为    

(2)已知函数yf(x2)的定义域为[1,4],则f(x)的定义域为    

(3)已知函数yf(x3)的定义域为[1,4],则f(2x)的定义域为    

[思路点拨] 找准每一个函数中的自变量,通过括号内范围相同来解决问题

(1)[1,2] (2)[3,6] (3) [(1)由题知对于f(x2)x2[1,4]x[1,2]

f(x2)的定义域为[1,2]

(2)由题知x[1,4]x2[3,6]f(x)的定义域是[3,6]

(3)由题知x[1,4]x3[4,7],对于f(2x)2x[4,7]x

f(2x)的定义域为]

抽象函数的定义域

?1?已知f?x?的定义域,求f?g?x??的定义域:若f?x?的定义域为[ab],则f?g?x??ag?x?b,从中解得x的取值范围即为f?g?x??的定义域.

?2?已知f?g?x??的定义域,求f?x?的定义域:若f?g?x??的定义域为[ab],即axb,求得g?x?的取值范围,g?x?的取值范围即为f?x?的定义域.

用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话:

定义域指自变量的取值范围.?告诉我们已知什么,求什么?

括号内范围相同.?告诉我们如何将条件与结论联系起来

3.已知函数yf(x1)的定义域为[3,2],则f(x1)的定义域为    

[5,0] [对于yf(x1)x[3,2]x1[41]f(x1)中有x1[4,1]x[5,0]]

理解函数的概念应关注五点

(1)AB是非空的数集,一方面强调了AB只能是数集,即AB中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就是说定义域为空集的函数是不存在的.

(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B的子集.

(3)函数定义中强调三性:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的实数y与之对应.这三性只要有一个不满足,便不能构成函数.

(4)yf(x)仅仅是函数符号,不是表示y等于fx的乘积f(x)表示以x为自变量的函数,f是确定函数的对应关系.

(5)f(x)外,有时还用g(x)u(x)F(x)G(x)等符号来表示函数.

1.下列图象表示函数图象的是(  )

C [根据函数定义知,对定义域内的任意变量x,都有唯一的函数值y和它对应,即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量,无交点即x不是定义域内的变量)显然,只有答案C中图象符合]

2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是(  )

Af(x)|x|g(x)

Bf(x)g(x)()2

Cf(x)g(x)x1

Df(x)·g(x)

A [A中定义域,对应关系都相同,是同一函数;B中定义域不同;C中定义域不同;D中定义域不同]

3.函数yln|2x|的定义域是    

{x|x1x2} [要使函数有意义,需满足解不等式得定义域为{x|x1x2}]

4.求下列函数的值域:

(1)yx1x{1,2,3,4,5}

(2)yx22x3x[0,3)

(3)y

[] (1)因为x{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}

(2)yx22x3(x1)22,由x[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[2,6)

(3)y2

显然0,所以y2,故函数的值域为(2)(2,+)

 

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