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(新)人教B版(2019)必修第三册学案:第8章 8.2 8.2.3 倍角公式(含解析)

学案
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8.2.3 倍角公式

学 习 目 标

核 心 素 养

1.理解二倍角公式的推导过程,知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.(重点)

2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)

1.通过倍角公式的推导,培养学生的逻辑推理核心素养.

2.借助倍角公式的应用,提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.

二倍角公式

S2αsin 2α2sin_αcos_α .

C2αcos 2αcos2αsin2α2cos2α112sin2α .

T2αtan 2α.

思考:你是怎样理解倍角公式中的倍角二字的?

[提示] 倍角公式中的倍角是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如2αα的二倍角,8α4α的二倍角,的二倍角等.

1.sin 15°sin 75°的值为(  )

A   B   C   D

B [原式=sin 15°cos 15°sin 30°.]

2.计算12sin222.5°的结果为(  )

A    B

C   D

B [12sin222.5°cos 45°.]

3.已知cos α,则cos 2α等于________

 [cos α,得cos 2α2cos2α12×1=-.]

利用二倍角公式化简求值

1】 化简求值.

(1)cos4sin4(2)sin ·cos ·cos

(3)12sin2 750°(4)tan 150°.

[思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项,然后求得.

[](1)cos4sin4

cos α.

(2)原式=cos

sin cos

sin

原式=.

(3)原式=cos(2×750°)cos 1 500°

cos(4×360°60°)cos 60°

原式=.

(4)原式=

=-=-

原式=-.

二倍角公式的灵活运用:

(1)公式的逆用:逆用公式,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有:

2sin αcos αsin 2αsin αcos αsin 2α

cos αcos2αsin2αcos 2αtan 2α.

(2)公式的变形公式间有着密切的联系,这就要求思考时要融会贯通,有目的地活用公式.主要形式有:

1±sin 2αsin2αcos2α±2sin αcos α(sin α±cos α)21cos 2α2cos2αcos2αsin2α.

1.求下列各式的值:

(1)sin cos

(2)2sin21

(3)cos 20°cos 40°cos 80°.

[](1)原式=.

(2)原式=-22cos .

(3)原式=

.

利用二倍角公式解决条件求值问题

2(1)已知sin α3cos α,那么tan 2α的值为(  )

A2      B.-2   C   D.-

(2)已知sin,则cos的值等于(  )

A   B

C.- D.-

(3)已知cos α=-sin βα是第三象限角,β.

sin 2α的值;cos(2αβ)的值.

[思路探究](1)可先求tan α,再求tan 2α

(2)可利用π2α2求值;

(3)可先求sin 2αcos 2αcos β,再利用两角和的余弦公式求cos(2αβ)

(1)D(2)C [(1)因为sin α3cos α

所以tan α3

所以tan 2α=-.

(2)因为cossinsin

所以cos2cos212×1=-.]

(3)[] 因为α是第三象限角,cos α=-

所以sin α=-=-

所以sin 2α2sin αcos α

2××.

因为βsin β

所以cos β=-=-

cos 2α2cos2α12×1

所以cos(2αβ)cos 2αcos βsin 2αsin β××=-.

直接应用二倍角公式求值的三种类型:

(1)sin α(cos α)cos α(sin α)sin 2α(cos 2α)

(2)sin α(cos α)cos 2α12sin2α(2cos2α1)

(3)sin α(cos α)

2.(1)已知αsin α,则sin 2α______cos 2α________tan 2α________.

(2)已知sinsin,且α,求tan 4α的值.

(1)  - [因为αsin α,所以cos α=-,所以sin 2α2sin αcos α2××=-cos 2α12sin2α12×tan 2α=-.]

(2)[] 因为sinsincos

则已知条件可化为sincos

sin

所以sin

所以cos 2α.因为α,所以2α2π)

从而sin 2α=-=-

所以tan 2α=-2

tan 4α=-.

利用二倍角公式证明

3】 求证:sin 2α.

[思路探究] 可先化简左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边.

[证明] 法一左边=

sin cos cos αsin αcos αsin 2α=右边.

原式成立.

法二:左边=cos2α·

cos2α·tan αcos αsin αsin 2α=右边.

原式成立.

证明问题的原则及一般步骤:

(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用两头凑的思想.

(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着复角化单角”“异名化同名”“变量集中等原则,设法消除差异,达到证明的目的.

3.求证:cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B

[] 左边=

(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B=右边,等式成立.

倍角公式的灵活运用

[探究问题]

1.在化简时,如何灵活使用倍角公式?

[提示] 在化简时,如果只是从α的关系去整理,化简可能感觉无从下手,但如果将α看成的倍角,可能会有另一种思路,

原式=

.

2.如何求函数f(x)2cos2x12sin xcos x(xR)的最小正周期?

[提示] 求函数f(x)的最小正周期,可由f(x)(2cos2x1)(2sin xcos x)cos 2xsin 2x2sin,知其最小正周期为π.

4 求函数f(x)5cos2xsin2x4sin xcos xx的最小值,并求其单调减区间.

[思路探究] 

[] f(x)5··2sin 2x

32cos 2x2sin 2x

34

34

34sin34sin

x2x

sin

所以当2x,即x时,

f(x)取最小值为32.

因为ysin上单调递增,

所以f(x)上单调递减.

本题考查二倍角公式,辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如yAsin?ωxφ?的形式,再利用函数图像解决问题.

4.求函数ysin4x2sin xcos xcos4x的最小正周期和最小值,并写出该函数在[0π]上的单调递减区间.

[] ysin4x2sin xcos xcos4x

(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sin xcos x

=-cos 2xsin 2x

22sin

所以Tπymin=-2.

2kπ2x2kπkZ

kπxkπkZ

x[0π]

所以令k0

得函数的单调递减区间为.

1.对于二倍角应该有广义上的理解

如:8α4α的二倍;4α2α的二倍;的二倍;的二倍;(nN*)

2.二倍角的余弦公式的运用

在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广泛.常用形式:

1cos 2α2cos2αcos2α1cos 2α2sin2αsin2α.

1.(2019·全国卷)已知α2sin 2αcos 2α1,则sin α(  )

A     B

C   D

B [2sin 2αcos 2α1,得4sin α·cos α2cos2α.

α2sin αcos α.sin2αcos2α1

sin2α.αsin α.

故选B]

2.的值为(  )

A.- B.-

C   D

D [原式=cos2sin2cos .]

3.已知tan α=-,则________.

 [

tan α=-.]

4.求下列各式的值:

(1)cos cos

(2)cos2.

[](1)原式=

.

(2)原式==-=-cos =-.

 

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