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(新)人教B版(2019)必修第三册学案:第8章 8.2 第1课时 两角和与差的正弦(含解析)

学案
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8.2.2 两角和与差的正弦、正切

1课时 两角和与差的正弦

学 习 目 标

核 心 素 养

1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式.(难点)

2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(重点)

1.通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导,培养学生的逻辑推理核心素养.

2.借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用,提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

1.两角和与差的正弦公式

(1)Sαβsin(αβ)sin_αcos_βcos_αsin_β.

(2)Sαβsin(αβ)sin_αcos_βcos_αsin_β.

2.辅助角公式

f(x)asin xbcos xsin(xθ)(ab不同时为0),其中cos θsin θ.

思考:根据公式C(α±β)的识记规律,你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗?

[提示] 对比公式C(α±β)的识记规律余余正正,加减相反可得公式S(α±β)的记忆规律:正余余正,加减相同”.

1.cos 17°sin 13°sin 17°cos 13°的值为(  )

A         B

C D.以上都不对

A [原式=sin(13°17°)sin 30°.]

2.函数ysin xcos x的最小正周期是(  )

A Bπ

C D

C [ysin xcos xsin函数的最小正周期为T2π.]

3.已知α为锐角,sin αβ是第四象限角,cos(πβ)=-,则sin(αβ)________.

0 [α为锐角,且sin α

cos α.

β为第四象限角,且cos(πβ)=-cos β=-

cos βsin β=-.

sin(αβ)××0.]

利用公式化简求值

1(1)(  )

A.-   B.-   C   D

(2)sin 157°cos 67°cos 23°sin 67°的值.

(3)sin(θ75°)cos(θ45°)cos(θ15°)的值.

[思路探究](1)化简求值应注意公式的逆用.

(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值.

(1)C [

sin 30°.]

(2)[] 原式=sin(180°23°)cos 67°cos 23°sin 67°

sin 23°cos 67°cos 23°sin 67°sin(23°67°)sin 90°1.

(3)[] sin(θ75°)cos(θ45°)cos(θ15°)

sin(θ15°60°)cos(θ15°30°)cos(θ15°)

sin(θ15°)cos 60°cos(θ15°)sin 60°cos(θ15°)·

cos 30°sin(θ15°)sin 30°cos(θ15°)

sin(θ15°)cos(θ15°)cos(θ15°)sin(θ15°)cos(θ15°)0.

1.对于非特殊角的三角函数式,要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值,一般有以下三种途径:

(1)化为特殊角的三角函数值;

(2)化为正负相消的项,消去,求值;

(3)化为分子、分母形式,进行约分再求值.

2.在进行求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则,先整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,则整体变形,否则进行各局部的变换.

1.化简下列各式:

(1)sin2sincos

(2)2cos(αβ)

[](1)原式=sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xcos xsin x

sin xcos x0.

(2)原式=

.

给值()求值

2】 设αβ,若cos α=-sin β=-,求sin(αβ)的值.

[思路探究] 应用公式?注意角的范围?求出所给角的正弦值.

[] 因为αcos α=-,所以sin α

因为βsin β=-,所以cos β.

所以sin(αβ)sin αcos βcos αsin β

××.

1.(变结论)若条件不变,试求sin(αβ)cos(αβ)的值.

[] sin(αβ)cos(αβ)sin αcos βcos αsin βcos αcos βsin αsin β××××=-1.

2.(变条件)若将角β的条件改为第三象限,其他条件不变,则结果如何?

[] 因为αcos α=-,所以sin α.

因为β为第三象限,所以cos β=-.

所以sin(αβ)sin αcos βcos αsin β××=-0.

1.已知角有两个或多个时,所求角一般可以表示为其中两个已知角的和或差的形式.

2.已知角有一个时,此时应着眼于所求角已知角的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角变成已知角”.

3.角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.

提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.

辅助角公式的应用

[探究问题]

1.函数f(x)sin xcos x(xZ)的最大值为2对吗?为什么?

[提示] 不对.因为sin xcos x

sin

所以函数的最大值为.

2.函数f(x)3sin x4cos x的最大值等于多少?

[提示] 因为f(x)3sin x4cos x

5

cos φsin φ

f(x)5(sin xcos φcos xsin φ)5sin(xφ)

所以函数的最大值为5.

3.如何推导asin xbcos xsin(xφ)公式?

[提示] asin xbcos x

cos φsin φ,则

asin xbcos x(sin xcos φcos xsin φ)

sin(xφ)(其中φ角所在象限由ab的符号确定,φ角的值由tan φ确定,或由sin φcos φ共同确定)

3 设函数f(x)sin xsin.

(1)f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;

(2)不画图,说明函数yf(x)的图像可由ysin x的图像经过怎样的变化得到.

[思路探究] 辅助角公式?转化成一角一函数的形式?将所给函数展开与合并.

[](1)f(x)sin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos x

sin

sin =-1时,f(x)min=-

此时x2kπ(kZ),所以x2kπ(kZ)

所以f(x)的最小值为-x的集合为

.

(2)ysin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得ysin x的图像;

然后将ysin x的图像上所有的点向左平移个单位长度,得f(x)sin的图像.

(变结论)例题中的条件不变,试求函数f(x)的单调区间?

[] 由本例解析知函数可化为f(x)sin

2kπx2kπ(kZ)

2kπx2kπ(kZ)时,函数为增函数;

2kπx2kπ

2kπx2kπ(kZ)时,函数为减函数.

所以函数f(x)的单调增区间为

(kZ)

函数f(x)的单调减区间为

(kZ)

1.把所给函数展开,合并化简,然后利用辅助角公式化成yAsin(ωxφ)的形式求解.

2.函数图像可通过ysin xysiny

sin的顺序得到.

1.两角和与差的正弦公式的结构特点

(1)公式中的αβ均为任意角.

(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例.

2.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系

3.使用和差公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式.

1.cos α=-α是第三象限的角,则sin(  )

A.-    B

C.-   D

A [cos α=-α为第三象限角,

sin α=-,由两角和的正弦公式得

sin sin αcos cos α·sin

××=-.]

2.函数f(x)sin xcos的值域为(  )

A[2,2]   B

C[1,1]   D

B [f(x)sin xcossin xcos x

sin xsin xcos xsin

所以函数f(x)的值域为[]

故选B]

3.sin 155°cos 35°cos 25°cos 235°________.

 [原式=sin 25°cos 35°cos 25°sin 35°

sin(25°35°)sin 60°.]

4.已知αβ均为锐角,sin αcos β,求αβ.

[] αβ均为锐角,sin αcos β

sin βcos α.

sin α<sin βα<β

<αβ<0

sin(αβ)sin αcos βcos αsin β

××=-

αβ=-.

 

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