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(新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第1章 §1 1.2 集合的基本关系

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www.ks5u.com1.2 集合的基本关系

 

学 习 目 标

核 心 素 养

1.理解集合的包含与相等的含义.(难点)

2能识别集合的子集、真子集会判断集合间的关系.(难点、易混点)

1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习培养数学抽象素养.

2借助子集、真子集的应用培养逻辑推理素养.

1Venn

为了直观地表示集合间的关系常用平面上封闭曲线的内部表示集合称为Venn图.

2子集

文字叙述

对于两个集合AB如果集合A中的任何一个元素都属于集合B即若aAaB那么称集合A是集合B的子集.

号表示

aA?aBA?B

图形表示

性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集A?A

(2)空集是任何集合的子集??A

(3)A?BB?CA?C

思考1:符号?有何不同?

提示表示元素与集合的关系?表示集合与集合的关系.

3集合相等

对于两个集合AB如果集合A是集合B子集且集合B也是集合A子集那么称集合A与集合B相等记作AB

思考2:如何证明集合相等?

提示证明这两个集合互为子集.

4真子集

对于两个集合AB如果A?BAB那么称集合A是集合B的真子集记作AB.

1MN则下列关系正确的是(  )

ANM       BNM

CN?M     DN?M

C [1MN?M.]

2已知集合A{x|x是平行四边形}B{x|x是矩形}C{x|x是正方形}D{x|x是菱形}(  )

AA?B     BC?B

CD?C     DA?D

B [根据四边形的定义和分类可知选B.]

3集合的子集有________个.

4 [集合的子集分别是?.]

4已知集合?求实数a的值.

[] (1)由已知16所以a216a316解得a=-4413

a4a37集合的元素不满足互异性

实数a的值为-413.

集合间的关系的判断

【例1 判断下列各组中集合间的关系.

(1)AB{x|x是等边三角形}

(2)AB

(3)AB

(4)AB{xn1nZ}

[] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形但等腰三角形不一定是等边三角形BA.

(2)AB.

(3)把集合AB在数轴上表示出来根据定义易得AB.

(4)AB所以AB.

判断两集合关系的常用方法

(1)化简集合从元素的属性中寻找两集合间的关系;

(2)利用列举法表示各集合从元素中寻找关系.

提醒在判断集合间的关系时要注意数轴及Venn图的应用它可以直观地帮助我们发现集合间的关系.

1ABC判断它们之间的关系.

[] 因为A{x|x21nZ}?BB?A

所以AB.

因为C{x|x2×2n1nZ}?A又-3A但-3C所以CA.

综上CAB.

子集个数问题

【例2 已知M?试写出满足条件的所有集合M.

[思路点拨] 先分析集合M中元素的特点然后分类列举.

[] 集合M含有元素12且含有345中的至少一个元素依据集合元素的个数分类列举如下:

含有3个元素:

含有4个元素:

含有5个元素:.

故满足条件的集合M共有上述7个集合.

1解决此类问题一般先分析集合元素的特征然后按集合元素个数分类列举.

2若一个集合有n个元素则它有2n个子集;有2n1个真子集.

2已知集合BA

(1)写出集合A

(2)判断BA的关系.

[] (1)集合B的子集分别是?所以A

(2)BA.

集合间的关系的应用

[探究问题]

1已知?试求ab满足的条件.

提示a1b1.

2已知?试求ab满足的条件.

提示对集合是否为空集讨论

为空集a>b满足题意;

非空时1ab1

ab满足的条件是a>b或-1ab1.

【例3 已知集合A{x|2x7}B{x|m1x2m1}B?A求实数m的取值范围.

[思路点拨] 将集合间的关系转化为元素间的关系由于B可能为空集故需分B?B?两种情况讨论.

[]  当B?m12m1m2

B?解得2m4.

综上得m4.

1对于本例中的集合AB是否存在实数m使A?B?

[]  若A?B该不等式组无解故实数m不存在.

2若将本例中的A{x|2x7}改为A其他条件不变求实数m的取值范围.

[] 当B?m12m1m2

B?解得m6综上得x2m6.

1对于B?A在未指明B非空时应分B?B?两种情况讨论.

2. 对于B?这种情况在确定参数的取值时可借助数轴来完成将两个集合在数轴上表示出来分清实心点与空心圈由集合之间的关系列出关于参数的不等式解不等式求出参数的取值范围.

1.在判断集合间的关系时要注意数轴及Venn图的应用它可以直观的帮助我们发现集合间的关系这是数形结合思想的应用.

2若一个集合有n个元素则它的有2n个子集;有2n1个真子集.

3由集合间的关系求参数的取值范围时要考虑空集是否符合题意.

1思考辨析(正确的画错误的画×)

(1)空集是任何集合的真子集.  (  )

(2)任何一个集合不可能是其自身的真子集. (  )

(3)任何一个集合至少有两个子集.  (  )

(4)A不是B的子集A中至少存在一个元素不属于B. (  )

[答案] (1)× (2) (3)× (4)

2集合A真子集的个数是(  )

A3    B4    C7    D8

C [因为A所以其真子集的个数是2317.]

3xyRAB则集合AB的关系是________

[答案] BA

4已知集合A{x|1x2}B{x|1xaa1}

(1)AB求实数a的取值范围;

(2)B?A求实数a的取值范围.

[] (1)ABa>2.

(2)B?A1a2.

 

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